Question

在雙曲線=1的一支上有三個(gè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂,6）、C(x₃,y₃)與焦點(diǎn)F（0,5）的距離成等差數(shù)列．

(1)求y₁+y₃；

(2)求證線段AC的垂直平分線經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

思路分析：利用雙曲線的第二定義解(1)，利用點(diǎn)差法結(jié)合(1)的結(jié)果證(2)．

(1)解：依題意，得B在雙曲線上支上，

故A、B、C三點(diǎn)都在雙曲線的上支，且上準(zhǔn)線的方程為y=．

|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，根據(jù)雙曲線的第二定義，得

.故y₁+y₃=12．

(2)證明:由點(diǎn)A、C在雙曲線上，故,=1．

    兩式相減，得=0．

∴．

∴AC的垂直平分線的斜率為．

    又AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（,6），故AC的垂直平分線方程為

y-6=.

    當(dāng)x=0時(shí)，y=，故AC的垂直平分線過定點(diǎn)（0,）．

誤區(qū)警示 本題屬定值問題，存在的問題是一方面對定值的概念和求法弄不清楚，摸不出頭緒；論另一方面不會(huì)運(yùn)用式子的變換和曲線的定義．

方法歸納 關(guān)于定值問題，一般通過計(jì)算證明其值與曲線的點(diǎn)的位置無關(guān)，或與直線的斜率無關(guān)．為了證明的目的更明確，可通過特殊情況，求出一個(gè)常數(shù)，猜想出這個(gè)定值．不同的設(shè)法，可以得到不同的證法．