Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ） 求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ） 若存在x∈[$\frac{1}{e}$，e]（e是常數(shù)，e=2.71828…）使不等式2f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ） 證明對(duì)一切x∈（0，+∞）都有l(wèi)nx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間，討論所給的區(qū)間和求出的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系，在不同條件下做出函數(shù)的最值．
（Ⅱ） 由題意知2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），存在x∈[$\frac{1}{e}$，e]，2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_max，得到結(jié)果．
（Ⅲ） 要證明不等式成立，問(wèn)題等價(jià)于證明lxnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），由（Ⅰ）知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-$\frac{1}{e}$，構(gòu)造新函數(shù)，得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ） f'（x）=lnx+1，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
①0＜t＜t+2＜$\frac{1}{e}$，t無(wú)解；
②0＜t＜$\frac{1}{e}$＜t+2＜$\frac{1}{e}$，即0$＜t＜\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
③$\frac{1}{e}$≤t＜t+2，即t≥$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}，0＜t＜\frac{1}{e}}\\{tlnt．t≥\frac{1}{e}}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由題意知2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），則h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
x∈[$\frac{1}{e}$，1]，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，x∈[1，e]，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）_max=max{h（$\frac{1}{e}$），h（e）}
因?yàn)榇嬖趚∈[$\frac{1}{e}$，e]，2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_max；
因?yàn)閔（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{1}{e}$+3e，h（e）=2+e+$\frac{3}{e}$，
所以h（$\frac{1}{e}$）＞h（e），
所以a≤-2+$\frac{1}{e}$+3e；
（Ⅲ）　問(wèn)題等價(jià)于證明lxlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），
由（Ⅰ）知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-$\frac{1}{e}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)取到
設(shè)m（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），則m′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，∴m（x）_max=m（1）=-$\frac{1}{e}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到，從而對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，研究函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)最值、證明不等式．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)最值、證明不等式，是導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用．這類(lèi)題解法思路明確，需要細(xì)心細(xì)致地計(jì)算．