Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+1|，若對任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．f（x）最小值為3，則實數(shù)a的取值范圍為{2，-4}．

Answer 1

分析 由函數(shù)的單調(diào)性的定義可得f（x）在[2，+∞）遞增，求得f（x）的增區(qū)間，可得a的范圍；運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得f（x）的最小值，令它為3，解方程可得a的值．

解答 解：對任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，
（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即有f（x）在[2，+∞）遞增，
當(dāng)x∈[2，+∞），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1-a，x≥a}\\{a+1，x＜a}\end{array}\right.$，
即有f（x）的增區(qū)間為[a，+∞），
則有a≤2；
函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+1|
≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|，
當(dāng)且僅當(dāng)（x-a）（x+1）≤0，等號成立．
即f（x）的最小值為|a+1|，
由題意可得|a+1|=3，
解得a=2或-4．
故答案為：（-∞，2]，{2，-4}．

點評 本題考查含絕對值的函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和絕對值不等式的性質(zhì)的運用：求最值，屬于中檔題．