Question

3．已知（x³+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中第六項的二項式系數(shù)最大，求：
（1）展開式中不含x的項；
（2）${C}_{n}^{0}$-$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{4}$${C}_{n}^{2}$-$\frac{1}{8}$${C}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意易得n=10，可得通項T_k+1=${C}_{10}^{k}$•x^30-5k，令30-5k=0可解得k=6，可得答案；
（2）易得${C}_{n}^{0}$-$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{4}$${C}_{n}^{2}$-$\frac{1}{8}$${C}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$=（1-$\frac{1}{2}$）ⁿ，代入n值計算可得．

解答 解：（1）∵（x³+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中第六項的二項式系數(shù)最大，
∴二項展開式共11項，∴n=10
∴展開式的通項T_k+1=${C}_{10}^{k}（{x}^{3}）^{10-k}（\frac{1}{{x}^{2}}）^{k}$=${C}_{10}^{k}$•x^30-5k，
令30-5k=0可解得k=6，
∴展開式中不含x的項為T₇=${C}_{10}^{6}$=${C}_{10}^{4}$=210；
（2）${C}_{n}^{0}$-$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{4}$${C}_{n}^{2}$-$\frac{1}{8}$${C}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$
=（1-$\frac{1}{2}$）ⁿ=（1-$\frac{1}{2}$）¹⁰=$\frac{1}{1024}$

點評 本題考查二項式定理，涉及二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．