Question

13．平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=3，BD=$\sqrt{14}$，E，F(xiàn)分別為AD，CD中點(diǎn)，BE．BF分別交AC于R，T，則|$\overrightarrow{AR}$|=2．

Answer 1

分析 由向量運(yùn)算可得R為AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，由已知數(shù)據(jù)可得cos∠BAD=$\frac{11}{24}$，可求$|\overrightarrow{AC}|$，可得答案．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{AR}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BR}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BE}$
=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$λ$\overrightarrow{AD}$，
又A、R、C共線，∴$\overrightarrow{AR}$=t$\overrightarrow{AC}$
=t（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=t$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=t}\\{\frac{1}{2}λ=t}\end{array}\right.$，解得t=$\frac{1}{3}$，
即R為AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴|$\overrightarrow{AR}$|=$\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{AC}|$，
∵AB=4，AD=3，BD=$\sqrt{14}$，
又∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{BD}$²=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）²，
∴14=16+9-2×4×3×cos∠BAD，解得cos∠BAD=$\frac{11}{24}$
∴$|\overrightarrow{AC}|$²=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）²=16+9+2×4×3×cos∠BAD=36，
∴$|\overrightarrow{AC}|$=6，∴|$\overrightarrow{AR}$|=$\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{AC}|$=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積，涉及平面向量基本定理和向量的共線以及模長公式，屬中檔題．