Question

2．已知x＞0，對于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 x＞0，對于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立?$a≥（\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}）_{max}$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵x＞0，對于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立?$a≥（\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}）_{max}$，
∵x＞0，∴$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$$≤\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+3}$=$\frac{1}{5}$．當且僅當x=1時取等號．
∴$a≥\frac{1}{5}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{5}，+∞）$．

點評 本題考查了恒成立問題的等價轉化方法、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．