Question

20．已知三棱錐P-ABC的頂點都在球O的表面上，若PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，則球O的表面積為12π．

Answer 1

分析 設(shè)過A，B，C的截面圓的圓心為O′，半徑為r，球心O到該截面的距離為d，利用PA，PB，PC兩兩垂直，O′為△ABC的中心，求出截面圓的半徑，通過球的半徑截面圓的半徑球心與截面的距離，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：如圖，設(shè)過A，B，C的截面圓的圓心為O′，半徑為r，球心O到該截面的距離為d，
因為PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，∴AB=BC=CA=2$\sqrt{2}$，且O′為△ABC的中心，
于是$\frac{2\sqrt{2}}{sin60°}$=2r，得r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又PO′=$\sqrt{4-{r}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
OO′=R-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$，解得R=$\sqrt{3}$，
故S_球=4πR²=12π．
故答案為：12π．

點評 本題是中檔題，考查球的表面積的求法，球的截面圓的有關(guān)性質(zhì)，考查空間想象能力，計算能力．