Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R），g（x）=$\frac{2x-2}{x+1}$-lnx．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，求b的取值范圍；
（2）當(dāng)a，b都為0時(shí)，斜率為k的直線與曲線y=f（x）交A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）于兩點(diǎn)，求證：x₁＜$\frac{1}{k}＜{x_2}$．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=lnx+x²-bx，求出f（x）與g（x）的定義域都為（0，+∞）．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，利用f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，推出$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-b≥0$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，即$b≤\frac{1}{x}+2x$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立利用基本不等式求解最值，即可．
（2）$k=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$．要證${x_1}＜\frac{1}{k}＜{x_2}$，等價(jià)于證$1＜\frac{{\frac{x_2}{x_1}-1}}{{ln\frac{x_2}{x_1}}}＜\frac{x_2}{x_1}$，令$t=\frac{x_2}{x_1}$，等價(jià)于證lnt＜t-1＜tlnt（t＞1），設(shè)m（t）=t-1-lnt（t＞1），則$m'（t）=1-\frac{1}{t}＞0（t＞1）$，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）∵a=-1∴f（x）=lnx+x²-bx，由題意可知，f（x）與g（x）的定義域都為（0，+∞）．
∵$g'（x）=\frac{2（x+1）-（2x-2）}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{x}=\frac{4}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{x}$=$\frac{{-{x^2}+2x-1}}{{x{{（x+1）}^2}}}=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{{x{{（x+1）}^2}}}≤0$
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．---------------（3分）
又a=-1時(shí)，f（x）與g（x）在定義域上的單調(diào)性相反，
∴f（x）=lnx+x²-bx在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-b≥0$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，-----------------（4分）
即$b≤\frac{1}{x}+2x$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，∴只需$b≤{（\frac{1}{x}+2x）_{min}}$，------------（5分）
∵x＞0，∴$\frac{1}{x}+2x≥2\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立），
∴$b≤2\sqrt{2}$，∴b的取值范圍為$（{-∞，2\sqrt{2}}]$．-------------（6分）
（2）證明：$k=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$．
要證${x_1}＜\frac{1}{k}＜{x_2}$，即證${x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}＜{x_2}$，
等價(jià)于證$1＜\frac{{\frac{x_2}{x_1}-1}}{{ln\frac{x_2}{x_1}}}＜\frac{x_2}{x_1}$，令$t=\frac{x_2}{x_1}$，
則只要證$1＜\frac{t-1}{lnt}＜t$，由t＞1，知lnt＞0，
故等價(jià)于證lnt＜t-1＜tlnt（t＞1），（*）---------------（8分）
?設(shè)m（t）=t-1-lnt（t＞1），則$m'（t）=1-\frac{1}{t}＞0（t＞1）$，
故m（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)t＞1時(shí)，m（t）=t-1-lnt＞m（1）=0，即t-1＞lnt．-------------（10分）
?設(shè)h（t）=tlnt-（t-1）（t＞1），則h'（t）=lnt＞0（t＞1），
故h（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt（t＞1）．
由??可知（*）成立，故${x_1}＜\frac{1}{k}＜{x_2}$．------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．