Question

已知點(diǎn)是函數(shù)f(x)＝a^x(a>0，且a≠1)的圖像上一點(diǎn)，等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f(n)－c，數(shù)列{b_n}(b_n>0)的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n－S_n－1＝＋(n≥2)．

(1)求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)c_n＝b_n·ⁿ，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n.

Answer 1

解：(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝^x，

a₁＝f(1)－c＝－c，

a₂＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，

a₃＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.

又?jǐn)?shù)列{a_n}成等比數(shù)列，

∴a₁＝＝＝－＝－c，∴c＝1.

又公比q＝＝，∴a_n＝－^n－1＝－2ⁿ(n∈N^*)．

∴數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

＝1＋(n－1)×1＝n，S_n＝n².

當(dāng)n≥2時(shí)，b_n＝S_n－S_n－1＝n²－(n－1)²＝2n－1；

又b₁＝c＝1滿足b_n＝2n－1，

∴b_n＝2n－1(n∈N^*)．

(2)∵c_n＝b_nⁿ＝(2n－1)ⁿ，

∴R_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n，

R_n＝1×¹＋3ײ＋5׳＋…＋(2n－1)×ⁿ，①

R_n＝1ײ＋3׳＋5×⁴＋…＋(2n－3)×ⁿ＋(2n－1)×^n＋1.②

由①－②得，

R_n＝＋2

－(2n－1)×^n＋1，

化簡(jiǎn)得，R_n＝＋2×