Question

5．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=2，S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2（n∈N^*），則S_n的取值范圍是（　�。�

• A． （2，4]
• B． [2，4）
• C． [2，4]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 a₁=2，S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2（n∈N^*），變形為S_n+1-4=$\frac{1}{2}$（S_n-4），利用等比數(shù)列的通項公式可得S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a₁=2，S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2（n∈N^*），
∴S_n+1-4=$\frac{1}{2}$（S_n-4），
∴數(shù)列{S_n-4}是等比數(shù)列，首項為-2，公比為$\frac{1}{2}$，
∴S_n-4=$-2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S_n=4$-2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=4-$（\frac{1}{2}）^{n-2}$∈[2，4），
故選：B．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．