Question

4．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中點．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）設(shè)AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，求異面直線BC₁與A₁D所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BC₁∥平面A₁CD；
（2）根據(jù)異面直線所成角的定義進行求解即可．

解答 （1）證明：連結(jié)AC₁，交A₁C于點O，連結(jié)OD，
因為D是AB的中點，所以BC₁∥OD，
因為BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：結(jié)合（1）易知∠A₁DO即為異面直線A與D，E所成角，
因為AC=BC，D為AB的中點，所以CD⊥AB，
又因為該三棱柱是直三棱柱，所以CD⊥平面ABB₁A₁，
即CD⊥平面A₁DE，∵$A{A_1}=AC=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，
∴${A_1}D=\sqrt{6}，DO={A_1}O=\frac{1}{2}{A_1}C=\sqrt{2}$，
∴$cos∠{A_1}DO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$∠{A_1}DO=\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及異面直線所成角的求解，利用相應(yīng)的判定定理以及異面直線所成角的定義是解決本題的關(guān)鍵．