Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-$\sqrt{3}$sinB），其中A，B為△ABC的兩個(gè)內(nèi)角．
（1）若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，求證：C為直角；
（2）若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，求證：B為銳角．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式即可得證；
（2）運(yùn)用兩向量共線的條件和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式即可得證．

解答 證明：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-$\sqrt{3}$sinB），
若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
即$\sqrt{3}$cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAsinB=0，
即有cos（A+B）=0，即cos（π-C）=0，
則cosC=0，即有C為直角．
（2）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，則sinAcosB=-3cosAsinB，
即sinAcosB+cosAsinB=-2cosAsinB，
sin（A+B）=-2cosAsinB，
即sinC=-2cosAsinB，
由sinB＞0，sinC＞0，則cosA＜0，
由sinA＞0，sinB＞0，則cosB＞0，
則有B為銳角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的垂直和共線的條件，主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和兩角和差公式的運(yùn)用和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．