Question

18．已知函數(shù)f（x）=（1-b）x²-2ax+b，當0≤a≤$\frac{1}{2}$，a≤b時，求證：f（x）≥0在x∈[-1，1]上恒成立．

Answer 1

分析 分類討論，確定△=4a²-4b（1-b）≥1，$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{1-a}$≤1，即可證明結(jié)論．

解答 證明：x∈[-1，1]，b=1時，f（x）=-2ax+1∈[-2a+1，2a+1]，
∵0≤a≤$\frac{1}{2}$，∴-2a+1≥0，
∴f（x）≥0；
b≠1時，△=4a²-4b（1-b）=4（a²+b²-b）
b（1-b）≤$\frac{1}{4}$，∴-4b（1-b）≥1，
∴△=4a²-4b（1-b）≥1，
∴f（x）有兩根，
對稱軸x=$\frac{a}{1-b}$≥$\frac{a}{1-a}$，
∵0≤a≤$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{1-a}$≤1，
f（-1）=1-b+2a+b=1+2a＞0，f（1）=1-2a+b-b=1-2a≥0，
∴f（x）≥0成立．

點評 本題考查不等式的證明，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．