Question

18．用反證法證明：設(shè)x，y，z均大于0，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，證明：a，b，c三數(shù)中至少有一個(gè)不小于2．

Answer 1

分析 假設(shè)a，b，c三數(shù)都小于2，則x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6，再結(jié)合基本不等式，引出矛盾，即可得出結(jié)論

解答 證明：假設(shè)a，b，c三數(shù)都小于2，則x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6．
∵x，y，z均大于0，
∴x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z≥2+2+2=6，矛盾．
∴a，b，c三數(shù)中至少有一個(gè)不小于2．

點(diǎn)評(píng) 用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．