Question

4．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）設數列{a_n²}的前n項和為T_n，求$\frac{{S}_{2n}}{{T}_{n}}$．
（3）判斷數列{3ⁿ-a_n}中是否存在三項成等差數列，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2，n∈N^*，可得當n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡即可得出．
（2）利用等比數列的前n項和公式可得S_n，利用等比數列的通項公式可得${a}_{n}^{2}$，即可得出數列{a_n²}的前n項和為T_n．
（3）假設數列{3ⁿ-a_n}中存在三項成等差數列，由3ⁿ-a_n=3ⁿ-2ⁿ．分別設為第s，k，m項，1≤s＜k＜m．則2（3^k-2^k）=3^s-2^s+3^m-2^m，化為：3^k（3^m-k-2）+3^s=2^s+2^k（2^m-k-2），比較左邊右邊大小關系即可得出結論．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，n∈N^*，∴當n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為：a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2（2ⁿ-1）．
${a}_{n}^{2}$=4ⁿ，
∴數列{a_n²}的前n項和為T_n=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{3}$．
∴$\frac{{S}_{2n}}{{T}_{n}}$=$\frac{2（{4}^{n}-1）×3}{4（{4}^{n}-1）}$=$\frac{3}{2}$．
（3）假設數列{3ⁿ-a_n}中存在三項成等差數列，由3ⁿ-a_n=3ⁿ-2ⁿ．
分別設為第s，k，m項，1≤s＜k＜m．
則2（3^k-2^k）=3^s-2^s+3^m-2^m，
化為：3^k（3^m-k-2）+3^s=2^s+2^k（2^m-k-2），
顯然左邊大于右邊，因此不成立，
故數列{3ⁿ-a_n}中不存在三項成等差數列，因此假設不成立．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、大小關系比較，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．