Question

5．如圖，某兒童公園設(shè)計一個直角三角形游樂滑梯，AO為滑道，∠OBA為直角，OB=20米，設(shè)∠AOB=θrad，一個小朋友從點A沿滑道往下滑，記小朋友下滑的時間為t秒，已知小朋友下滑的長度s與t²和sinθ的積成正比，當$θ=\frac{π}{6}$時，小朋友下滑2秒時的長度恰好為10米．
（1）求s關(guān)于時間t的函數(shù)的表達式；
（2）請確定θ的值，使小朋友從點A滑到O所需的時間最短．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)出設(shè)S=kt²sinθ的表達式，當$θ=\frac{π}{6}$時，S=10，求解k，可得s關(guān)于時間t的函數(shù)的表達式；
（2）把OA用θ表示出來，建立關(guān)系，化簡，利用三角函數(shù)的有界限求解即可．

解答 解：（1）由題意，設(shè)S=kt²sinθ，t＞0，
當$θ=\frac{π}{6}$時，S=10，
∴$10=k×{2^2}sin\frac{π}{6}$，
解得：k=5，
∴故得S關(guān)于時間t的函數(shù)的表達式；S=5t²sinθ，t＞0；
（2）由題意，∠OBA為直角，∠AOB=θrad，
可得：$OA=\frac{20}{cosθ}$，
∴$\frac{20}{cosθ}=5{t^2}sinθ$，
化簡可得：$t=\sqrt{\frac{4}{sinθcosθ}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{sin2θ}}}$，
∴當$θ=\frac{π}{4}$時，時間t最短．

點評 本題考查了三角函數(shù)的在實際生活中的運用能力和計算能力．屬于基礎(chǔ)題