Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x+cos2θ-3sinθ+2的值在x＜2時恒正，則參數(shù)θ在（0，π）上的取值范圍是（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π）．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法轉化求函數(shù)的最值問題，結合三角函數(shù)的倍角公式進行轉化求解即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x+cos2θ-3sinθ+2的值在x＜2時恒正，
即當x＜2時，f（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x+cos2θ-3sinθ+2＞0恒成立，
即$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x＞-cos2θ+3sinθ-2恒成立，
設g（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-2x，
則g′（x）=-$\frac{2}{（x-2）^{3}}$-2=-2•$\frac{1+（x-2）^{3}}{（x-2）^{3}}$，
當x＜2時，x-2＜0，
則由g′（x）=0得1+（x-2）³=0，得（x-2）³=-1，
即x-2=-1，則x=1，
當1＜x＜2時，g′（x）＞0，當x＜1時，g′（x）＜0，
即當x=1時，函數(shù)g（x）取得極小值同時也是最小值g（1）=1-2=-1，
即-1＞-cos2θ+3sinθ-2恒成立，
則cos2θ-3sinθ+1＞0，
即1-2sin²θ-3sinθ+1＞0，
則2sin²θ+3sinθ-2＜0，
得（sinθ+2）（2sinθ-1）＜0，
得-2＜sinθ＜$\frac{1}{2}$，
∵θ∈（0，π），
∴θ∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π），
故答案為：（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π）

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法轉化求函數(shù)的最值，構造函數(shù)的導數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)最值和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．