Question

9．已知函數(shù)f（x）=（sinx+$\sqrt{3}$cosx）²-2．
（1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．

Answer 1

分析 （1）首先，結(jié)合輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，利用降冪公式進(jìn)行處理即可，然后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期進(jìn)行求解；
（2）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）的解析式，然后，結(jié)合所給角度的范圍，換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（sinx+$\sqrt{3}$cosx）²-2．
=[2sin（x+$\frac{π}{3}$）]²-2
=4sin²（x+$\frac{π}{3}$）-2
=2[1-cos（2x+$\frac{2π}{3}$）]-2
=-2cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
∴f（x）=-2cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
可以令2kπ≤2x+$\frac{2π}{3}$≤π+2kπ，k∈Z，
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1
=$\frac{1}{2}$×4cos²（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos[2（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{2π}{3}$]-1
=2cos²（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos（2x+$\frac{π}{2}$+$\frac{2π}{3}$）-1
=2cos²（2x+$\frac{2π}{3}$）-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1
=2-2sin²（2x+$\frac{2π}{3}$）-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1
=-2sin²（2x+$\frac{2π}{3}$）-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+1
∴g（x）=-2sin²（2x+$\frac{2π}{3}$）-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+1
令sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=t，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，
∴sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴y=-2t²-2t+1，t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+1+$\frac{1}{2}$
=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∴最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為-3．
∴值域?yàn)閇-3，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了三角公式、輔助角公式、降冪公式、兩角和與差的三角公式等知識(shí)，屬于中檔題．