Question

2．設(shè)拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率為$-\sqrt{3}$，則|PF|=（　�。�

• A． $4\sqrt{3}$
• B． 6
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)直線AF的斜率得到AF方程，與準(zhǔn)線方程聯(lián)立，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镻A垂直準(zhǔn)線l，所以P點(diǎn)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，再代入拋物線方程求P點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義就可求出|PF|長(zhǎng)．

解答 解：∵拋物線方程為y²=8x，
∴焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線l方程為x=-2，
∵直線AF的斜率為$-\sqrt{3}$，直線AF的方程為y=$-\sqrt{3}$（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-\sqrt{3}（x-2）}\end{array}\right.$，可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，4$\sqrt{3}$），
∵PA⊥l，A為垂足，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4$\sqrt{3}$，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4$\sqrt{3}$），
∴|PF|=|PA|=6-（-2）=8，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，定義的應(yīng)用，以及曲線交點(diǎn)的求法，屬于綜合題．