Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k
（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；
（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；
（3）對任意k＞0，求證：PA⊥PB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設寫出點M，N的坐標，求出線段MN中點坐標，根據(jù)線PA過原點和斜率公式，即可求出k的值；
（2）寫出直線PA的方程，代入橢圓，求出點P，A的坐標，求出直線AB的方程，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得點P到直線AB的距離d；
（3）要證PA⊥PB，只需證直線PB與直線AB的斜率之積為-1，根據(jù)題意求出它們的斜率，即證的結(jié)果．
解答：解：（1）由題設知，a=2，b=，
故M（-2，0），N（0，-），所以線段MN中點坐標為（-1，-）．
由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，，又直線PA過原點，
所以k=．
（2）直線PA的方程為y=2x，代入橢圓方程得，解得x=±，
因此P（，），A（-，-）
于是C（，0），直線AC的斜率為1，故直線AB的方程為x-y-=0．
因此，d=．
（3）設P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，
A（-x₁，-y₁），C（x₁，0）．
設直線PB，AB的斜率分別為k₁，k₂．
因為C在直線AB上，所以k₂=，
從而kk₁+1=2k₁k₂+1=2•=
==．
因此kk₁=-1，所以PA⊥PB．
點評：此題是個難題．考查橢圓的標準方程和簡單的幾何性質(zhì)，以及直線斜率的求法，以及直線與橢圓的位置關系，體現(xiàn)了方程的思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時也考查了學生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．