Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，一定長(zhǎng)m的線段，其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M滿足=λ(λ是大于0，且不等于1的常數(shù)).

試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)E、F，使|ME|、|MB|、|MF|成等差數(shù)列？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：假設(shè)存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使|EM|、|MB|、|MF|成等差數(shù)列，則|ME|+|MF|=2|MB|.∵|MB|=為定值，設(shè)M(x,y),A(a,0),B(0,b),∵=,∵, ,∴a=(1+λ)x,b=,又a²+b ²=m ²,∴(1+λ) ²x²+y²=m²,∵λ＞0且λ≠1,軌跡為橢圓型的曲線.?

(1)當(dāng)0＜λ＜1時(shí)方程化為,∴這個(gè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)為（,0）.∴|ME|+|MF|==2·|MB|,此時(shí)焦點(diǎn)為符合條件的兩個(gè)定點(diǎn).?

(2)當(dāng)λ＞1, ,此時(shí)長(zhǎng)半軸為,而不是,故不存在符合條件的兩定點(diǎn).