Question

14．已知△ABC中，三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，問y=cos²A+cos²C是否存在最大值或最小值？如果存在，請(qǐng)求出最值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列可得A+C=120°，則C=120°-A，使用降次公式化簡(jiǎn)y得到關(guān)于A的三角函數(shù)，根據(jù)A的范圍判斷函數(shù)是否有最值．

解答 解：∵A、B、C成等差數(shù)列，∴A+C=2B．
∵A+B+C=180°，∴B=60°．
∴C=120°-A．
∴y=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（120°-A）
=$\frac{1}{2}$（1+cos2A）+$\frac{1}{2}$（1+cos（240°-2A））
=1+$\frac{1}{4}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A
=1+$\frac{1}{2}$cos（2A+60°）．
不妨設(shè)A≤B≤C，則0＜A≤60°．
∴60°＜2A+60°≤180°．
∴當(dāng)2A+60°=180°時(shí)，y取得最小值1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
由于2A+60°取不到60°，∴y沒有最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．