Question

15．已知f（x）=x²-4x+3，x∈[t，t+1]（t∈R），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 先分析函數(shù)f（x）=x²-4x+3的圖象和性質(zhì)，進而分類討論給定區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，進而得到函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，進而可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-4x+3的圖象是開口朝上，且以直線x=2為對稱軸的拋物線，
當t+1≤2，即t≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上為減函數(shù)，此時當x=t+1時，函數(shù)取最小值t²-2t，
當t＜2＜t+1，即1＜t＜2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，2]上為減函數(shù)，在區(qū)間[2，t+1]上為增函數(shù)，此時當x=2時，函數(shù)取最小值-1，
當t≥2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上為增函數(shù)，此時當x=t時，函數(shù)取最小值t²-4t+3．
故f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-2t，t≤1\\-1，1＜t＜2\\{t}^{2}-4t+3，t≥2\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．