Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，sinC=3sinB，求b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)余弦定理以及兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值即可求出，
（Ⅱ）由正弦定理和余弦定理即可求出

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2accosB}{2bccosA}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$，
∴2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
∴2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）∵sinC=3sinB，
∴c=3b，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
∴4=b²+9b²-3b²=7b²，
∴b=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，c=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及和角的三角函數(shù)，屬中檔題．