Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^x}}}$，且滿足f（1）=-$\frac{1}{3}$
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若對任意的t∈[0，1]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把x=-$\frac{1}{3}$代入函數(shù)f（x）=$\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^x}}}$列出關(guān)于a的方程，通過解方程求得a的值；
（Ⅱ） 首先求得該函數(shù)的定義域，然后通過f（x）與f（-x）間的數(shù)量關(guān)系來判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到不等式t²-2t＞k-2t²，通過解不等式求得k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為 $f（1）=-\frac{1}{3}$，代入解析式，得
$\frac{{1-{2}}}{{a+{2}}}$=-$\frac{1}{3}$，
解得a=1，
所以$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$；
（Ⅱ） 由$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$知，函數(shù)f（x）的定義域為R，
又因為$f（-x）=\frac{{1-{2^{-x}}}}{{1+{2^{-x}}}}=\frac{{{2^x}-1}}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{2}{{1+{2^x}}}-1$在R上單調(diào)遞減，
∵f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∴t²-2t＞k-2t²（t∈[0，1]）恒成立，$即k＜3{t^2}-2t=3{（t-\frac{1}{3}）^2}-\frac{1}{3}恒成立$，
因為$\frac{1}{3}∈[0，1]$，即$k＜-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了指數(shù)函數(shù)綜合題，解題時，需要掌握函數(shù)奇偶性的概念，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的最值的求法，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．