Question

1．已知a＞b＞c，求證：方程$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0有兩個實(shí)根，且一個大于b，一個小于b．

Answer 1

分析 先在原方程的兩邊同乘以（x-a）（x-b）（x-c）得到一元二次方程3x²-2（a+b+c）x+ab+ac+bc=0，容易求得判別式△＞0，可設(shè)f（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+ac+bc，能夠求出f（b）＜0，從而得出結(jié)論：原方程有兩個實(shí)根，一個大于b，一個小于b．

解答 證明：原方程兩邊同乘以（x-a）（x-b）（x-c）并整理得：
3x²-2（a+b+c）x+ab+ac+bc=0 （1）；
△=4（a²+b²+c²-ab-ac-bc）=2（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=2[（a-b）²+（b-c）²+（a+c）²]；
∵a＞b＞c，
∴△＞0；
∴方程（1）有兩個不相等的實(shí)根；
∴原方程有兩個實(shí)根；
設(shè)f（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+ac+bc；
該函數(shù)為二次函數(shù)；
f（b）=b²-ab+ac-bc=（b-c）（b-a）；
∵a＞b＞c；
∴b-c＞0，b-a＜0；
∴f（b）＜0；
∴方程（1）的兩個實(shí)根，一個大于b，一個小于b；
即原方程的兩個實(shí)根一個大于b，一個小于b．

點(diǎn)評 考查將分式方程變成整式方程方程來判斷方程解的情況的方法，一元二次方程解的情況和判別式△的關(guān)系，以及完全平方式的運(yùn)用，并熟悉二次函數(shù)的圖象．