Question

4．已知圓M：（x-1）²+（y-1）²=4，直線l：x+y-6=0，A為直線l上一點．
（1）若AM⊥l，過A作圓M的兩條切線，切點分別為P，Q，求∠PAQ的大��；
（2）若圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC=60°，求點A橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定△APM是等腰直角三角形，可得∠PAM=45°，同理得∠QAM=45°，即可求∠PAQ的大��；
（2）從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠PMQ為120°，所以MA的長度為4，故可確定點A的橫坐標x₀的取值范圍．

解答 解：（1）由題知AM⊥l，即AM為M點到直線l的距離，AM=2$\sqrt{2}$，…2分
在直角三角形APM中，AM=2$\sqrt{2}$，PM=2，∴AP=2
∴△APM是等腰直角三角形，…5分
∴∠PAM=45°，…6分
同理得∠QAM=45°
∴∠PAQ=90°                        …8分
（2）由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，
不妨設切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠PMQ為120°，所以MA的長度為4，
故問題轉(zhuǎn)化為在直線上找到一點，使它到點M的距離為4．
設A（x₀，6-x₀），則
∵M（1，1），∴（x₀-1）²+（5-x₀）²=16
∴x₀=1或5
∴點A的橫坐標x₀的取值范圍是[1，5]…16分．

點評 本題考查直線與圓的方程的應用，考查學生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是明確從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角．