Question

19．已知$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤2}\end{array}}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=4ax+3by（a＞0，b＞0）最大值為12，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知利用線性規(guī)劃可得a+b=1，而$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）展開后利用基本不等式即可求解

解答 解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
由直線4ax+3by=z（a＞0，b＞0）可得y=-$\frac{4a}{3b}$x+$\frac{z}{3b}$，
則$\frac{z}{3b}$表示直線在y軸截距，截距越大z越大，
由a＞0，b＞0可得-$\frac{4a}{3b}$＜0，
∴直線4ax+3by=Z過點B時，目標(biāo)函數(shù)有最大值，
由 $\left\{\begin{array}{l}{2x-y=2}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$可得B（3，4），
此時目標(biāo)函數(shù)z=4ax+3by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即12a+12b=12，即a+b=1而$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{a}$即a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值4，
故選：C．

點評 本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值．