Question

4．已知直線l：x+y=1與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求l與C相交所得的弦長；
（2）若l與C有兩個不同的交點，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$，l與C聯(lián)立，消去y，可得3x²+2x-2=0，利用弦長公式求l與C相交所得的弦長；
（2）由直線l：x+y=1與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，消去y，并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0，由C與l相交于兩個不同的點，確定a的范圍，即可求得雙曲線C的離心率e的取值范圍．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$，l與C聯(lián)立，消去y，可得3x²+2x-2=0，
∴l(xiāng)與C相交所得的弦長為$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{8}{3}}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$；
（2）由直線l：x+y=1與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，消去y，并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-{a}^{2}≠0}\\{4{a}^{4}+8{a}^{2}（1-{a}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\sqrt{2}$，且a≠1，
而雙曲線C的離心率e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{a}$=$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+1}$，從而e＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$，且e≠$\sqrt{2}$，
故雙曲線C的離心率e的取值范圍為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}，+∞$）．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．