Question

9．學(xué)校食堂周一提供兩種菜品，凡是在周一選A菜品的，下周一有20%選B，選B的下周一有30%改選A，用A_n，B_n，分別表示在第n個星期一選A，B人數(shù)．
（1）若矩陣$|\begin{array}{l}{{A}_{n+1}}\\{{B}_{n+1}}\end{array}|$=M$|\begin{array}{l}{{A}_{n}}\\{{B}_{n}}\end{array}|$，求矩陣M；
（2）求矩陣M的逆矩陣．

Answer 1

分析 （1）利用A_n+1=0.8A_n+0.3B_n、B_n+1=0.2A_n+0.7B_n，結(jié)合$|\begin{array}{l}{{A}_{n+1}}\\{{B}_{n+1}}\end{array}|$=M$|\begin{array}{l}{{A}_{n}}\\{{B}_{n}}\end{array}|$即得結(jié)論；
（2）利用矩陣的初等行變換計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知：A_n+1=0.8A_n+0.3B_n，
B_n+1=0.2A_n+0.7B_n，
∵矩陣$|\begin{array}{l}{{A}_{n+1}}\\{{B}_{n+1}}\end{array}|$=M$|\begin{array}{l}{{A}_{n}}\\{{B}_{n}}\end{array}|$，
∴矩陣M=$[\begin{array}{l}{0.8}&{0.3}\\{0.2}&{0.7}\end{array}]$；
（2）$[\begin{array}{l}{0.8}&{0.3}&{1}&{0}\\{0.2}&{0.7}&{0}&{1}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{\frac{3}{8}}&{\frac{5}{4}}&{0}\\{2}&{7}&{0}&{10}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{\frac{3}{8}}&{\frac{5}{4}}&{0}\\{0}&{\frac{25}{4}}&{-\frac{5}{2}}&{10}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{\frac{3}{8}}&{\frac{5}{4}}&{0}\\{0}&{1}&{-\frac{2}{5}}&{\frac{8}{5}}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\frac{7}{5}}&{-\frac{3}{5}}\\{0}&{1}&{-\frac{2}{5}}&{\frac{8}{5}}\end{array}]$，
∴矩陣M的逆矩陣為：$[\begin{array}{l}{\frac{7}{5}}&{-\frac{3}{5}}\\{-\frac{2}{5}}&{\frac{8}{5}}\end{array}]$．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與矩陣的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．