Question

20．已知f（x）=|x|（x-2），如果關于x的方程f²（x）+2af（x）+1=0有三個不等實根，則a取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 作出y=f（x）的圖象，由圖象可得-1＜t＜0時，有3個交點，t²+2at+1=0有解，即有-2a=t+$\frac{1}{t}$，求得右邊的范圍，即可得到a的范圍．

解答 解：f（x）=|x|（x-2）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{2x-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，作出y=f（x）的圖象，
令t=f（x），
由圖象可得-1＜t＜0時，有3個交點，
則t²+2at+1=0有解，
即有-2a=t+$\frac{1}{t}$，
由t+$\frac{1}{t}$＜-2，可得-2a＜-2，
解得a＞1．
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)和方程的關系，考查二次方程有解的條件，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．