Question

10．設實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y≤2\end{array}$，則u=$\frac{x+y}{x}$的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{4}{3}，\frac{3}{2}}]$
• B． $[{\frac{1}{3}，2}]$
• C． $[{\frac{4}{3}，3}]$
• D． $[{\frac{3}{2}，3}]$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用直線斜率的幾何意義進行求解．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
則u=$\frac{x+y}{x}$=1+$\frac{y}{x}$，
設k=$\frac{y}{x}$，則u=1+k，k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
由圖象知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），
則OA的斜率最大為k=2，OB的斜率最小為k=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤k≤2，則$\frac{4}{3}$≤1+k≤3，
即$\frac{4}{3}$≤z≤3，
故選：C．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及直線斜率公式的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．