Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x^3}+3，x≤0}\end{array}}$，當(dāng)2＜a≤3時，則方程f（2x²+x）=a的根最多個數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用換元法令t=2x²+x，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行討論即可得到結(jié)論．

解答 畫出函數(shù)f（x）的圖象如右圖，
令t=2x²+x，
當(dāng)2＜a≤3時，y=a與y=f（t）的圖象有三個交點，
三個交點的橫坐標(biāo)記為t₁，t₂，t₃且t₁≤0＜t₂＜t₃，
當(dāng)2x²+x=t₂時，該方程有兩解，2x²+x=t₃時，
該方程也有兩解，2x²+x=t₁時，該方程有0個解或1個解或2個解，
∴當(dāng)2＜a≤3時，
方程f（2x²+x）=a的根的個數(shù)可能為4個，5個，6個；
當(dāng)a＞3時，y=a與y=f（t）的圖象有兩個交點，
兩個交點的橫坐標(biāo)記為t₄，t₅且0＜t₄＜t₅，
當(dāng)2x²+x=t₄時，該方程有兩解，2x²+x=t₅時，該方程也有兩解，
∴當(dāng)a＞3時，方程f（2x²+x）=a的根的個數(shù)為4個；
綜上方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的個數(shù)可能為4個，5個，6個．
即根數(shù)最多為6個，
故選：C．

點評 本題主要考查根的個數(shù)的判斷，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的相交問題，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．