Question

19．是否存在二次函數(shù)f（x），使得對任意n∈N^*，都有$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+{n}^{2}}{n}$=f（n），若存在，求出f（x），若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 由1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），可得到f（n）=$\frac{1}{3}$n²+$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{6}$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：由于1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），
則f（n）=$\frac{1}{6}$（n+1）（2n+1）=$\frac{1}{3}$n²+$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{6}$，
故存在二次函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{6}$，使得對任意n∈N^*，都有$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+{n}^{2}}{n}$=f（n）．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題．