Question

4．若△ABC為銳角三角形，則下列式子一定成立的是（　�。�

• A． log_cosC$\frac{sinA}{cosB}$＞0
• B． log_sinC$\frac{cosA}{cosB}$＞0
• C． log_sinC$\frac{sinA}{sinB}$＞0
• D． log_sinC$\frac{cosA}{sinB}$＞0

Answer 1

分析 由△ABC為銳角三角形，得A+B＞$\frac{π}{2}$，移向后利用三角函數(shù)的單調(diào)性借助于誘導(dǎo)公式可說(shuō)明$\frac{sinA}{cosB}＞1$，0＜$\frac{cosA}{sinB}＜1$，從而可得A錯(cuò)誤，D正確；舉例說(shuō)明B，C錯(cuò)誤．

解答 解：∵△ABC為銳角三角形，∴A+B＞$\frac{π}{2}$，即A＞$\frac{π}{2}-B$，則sinA＞cosB＞0，$\frac{sinA}{cosB}＞1$，
又0＜cosC＜1，∴l(xiāng)og_cosC$\frac{sinA}{cosB}$＜0，A錯(cuò)誤；
∵0＜sinC＜1，當(dāng)A=70°，B=80°時(shí)，$\frac{cosA}{cosB}＞1$，log_sinC$\frac{cosA}{cosB}$＜0，B錯(cuò)誤；
當(dāng)A=80°，B=70°時(shí)，$\frac{sinA}{sinB}＞1$，log_sinC$\frac{sinA}{sinB}$＜0，C錯(cuò)誤；
由A+B＞$\frac{π}{2}$，即B＞$\frac{π}{2}-A$，則sinB＞cosA＞0，0＜$\frac{cosA}{sinB}＜1$，$lo{g}_{sinC}\frac{cosA}{sinB}＞0$，D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了銳角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．