Question

14．已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對?x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，給出下列命題：
（1）f（2）=0； 
（2）直線x=-4是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸；
（3）函數y=f（x）在[-4，4]上有四個零點；
（4）f（2012）=f（0）
其中所有正確命題的序號為（1）（2）（4）．

Answer 1

分析 由函數y=f（x）是R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我們令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，進而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由當x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，得函數在區(qū)間[0，2]單調遞減，由此我們畫出函數的簡圖，然后對題目中的四個結論逐一進行分析，即可得到答案．

解答 解：∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
當x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函數y=f（x）是R上的偶函數
∴f（-2）=f（2）=0，故（1）正確；
由f（2）=0，知f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），故周期為4．
又由當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₁時，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，
∴函數在區(qū)間[0，2]單調遞減，
由函數是偶函數，知函數在[-2，0]上單調遞增，
再由函數的周期為4，得到函數f（x）的示意圖如下圖所示：

由圖可知：（1）正確，（2）正確，（3）錯誤，（4）正確
故答案為：（1）（2）（4）．

點評 本題考查的知識點是函數的圖象，函數的奇偶性，函數的周期性，函數的零點，解答的關鍵是根據已知，判斷函數的性質，并畫出函數的草圖，結合草圖分析題目中相關結論的正誤．