Question

8．已知α、β是兩個(gè)平面，m，n是α、β外的兩條直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，能組成正確命題的個(gè)數(shù)為2．

Answer 1

分析 構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，然后以四個(gè)論斷中的其中三個(gè)為條件，推導(dǎo)第4個(gè)，借助于長(zhǎng)方體中的線與面進(jìn)行合理構(gòu)造，然后進(jìn)行合理推理，得出正確結(jié)論．

解答 解：如圖，做出長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面判斷一下四個(gè)命題：
（1）①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β⇒④m⊥α．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，令面ADD₁A₁為α，面ABCD為β，直線CC₁為n，A₁C₁為m，顯然m不與α垂直，所以此命題是假命題；
（2）①m⊥n；②α⊥β；④m⊥α⇒③n⊥β．此命題和上一命題是一樣的，所以也是假命題；
（3）①m⊥n；③n⊥β；④m⊥α⇒②α⊥β．由已知，$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$分別是面α，β的法向量，因?yàn)閙⊥n，所以$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，所以α⊥β，所以此命題是真命題；也可以利用長(zhǎng)方體進(jìn)行直觀判斷；
（4）②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α⇒①m⊥n．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，令面ADD₁A₁為α，面ABCD為β，直線D₁C₁為m，CC₁為n，則m⊥n．所以此命題為真命題．
故正確命題有兩個(gè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 長(zhǎng)方體是判斷有關(guān)空間線、面之間垂直關(guān)系的重要載體，特別是在選擇題中，主要是根據(jù)已知與結(jié)論，合理選擇線與面，然后做出正確的判斷．