Question

3．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD和四邊形BCEF是全等的等腰梯形，且平面BCEF⊥平面ABCD，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G為線段AB的中點
（1）求證：AC⊥BF；
（2）求二面角D-FG-B（鈍角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AC⊥平面BCEF即可．
（2）建立空間直角坐標系，求出對應(yīng)平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 解：（1）連接CF，∵四邊形ABCD和四邊形BCEF是全等的等腰梯形，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G為線段AB的中點，
∴DG∥BC，AC⊥CB，同理CF⊥BC，
∵平面BCEF⊥平面ABCD，AC⊥BC，平面BCEF∩平面ABCD=BC
∴AC⊥平面BCEF，
∵BF?平面BCEF，∴AC⊥BF；
（2）由（1）知CF⊥平面ABCD，
∴建立以C為坐標原點，以CA，CB，CF分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
∵AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，
∴設(shè)BC=1，則AB=2，AC=CF=$\sqrt{3}$，
則A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），F(xiàn)（0，0，$\sqrt{3}$），G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
則$\overrightarrow{GF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{GB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
設(shè)平面DFG的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DG}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
則y=0，令x=2，則z=1，即為$\overrightarrow{m}$=（2，0，1），
設(shè)平面FGB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=\sqrt{3}z}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=$\sqrt{3}$，z=1，即為$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+1}{\sqrt{{2}^{2}+1}•\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∵二面角D-FG-B是鈍二面角，
∴二面角（鈍角）的余弦值為-$\frac{3}{5}$．

點評 本題主要考查空間直線垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及建立坐標系，利用向量法求二面角是解決本題的關(guān)鍵．