Question

退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)和人口老齡化背景下的一種趨勢(shì)．某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在20～80歲（含20歲和80歲）之間的600人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡層次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]繪制頻率分布直方圖，如圖所示．若規(guī)定年齡分布在[20，40）歲的人為“青年人”，[40，60）為“中年人”，[60，80]為“老年人”．

（Ⅰ）若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來(lái)代替，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡；
（Ⅱ）將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率．從該城市20-80年齡段市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖能估算所調(diào)查的600人的平均年齡．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知“老年人”所點(diǎn)頻率為

1

5

，依題意，X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖估算所調(diào)查的600人的平均年齡為：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（歲）．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知“老年人”所點(diǎn)頻率為

1

5

，
∴從該城市20～80年齡段市民中隨機(jī)抽取1人，抽到“老年人”的概率為

1

5

，
依題意，X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C

0 3

(

4

5

)3=

64

125

，
P（X=1）=

C

1 3

(

1

5

)(

4

5

)2=

48

125

，
P（X=2）=

C

2 3

(

1

5

)2(

4

5

)=

12

125

，
P（X=3）=

C

3 3

(

1

5

)3=

1

125

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

EX=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．