Question

7．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，M是橢圓上任一點，△MF₁F₂面積的最大值為1，橢圓的內(nèi)接矩形（矩形的邊與橢圓的對稱軸平行）面積的最大值為2$\sqrt{2}$，則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．

Answer 1

分析 M是橢圓上任一點，當(dāng)M為短軸的端點時，△MF₁F₂面積取得最大，即為bc=1，可設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的四個頂點的坐標，求得面積，由點滿足橢圓方程，運用基本不等式求得面積的最大值，即為ab=$\sqrt{2}$，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程．

解答 解：M是橢圓上任一點，當(dāng)M為短軸的端點時，
△MF₁F₂面積取得最大，且為$\frac{1}{2}$•b•2c=bc，
由題意可得bc=1，①
又設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的頂點為（m，n），（m，-n），（-m，-n），（-m，n），
則矩形的面積為4|mn|，
由$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1≥2•|$\frac{mn}{ab}$|，
可得|mn|≤$\frac{1}{2}$ab，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{|m|}{a}$=$\frac{|n|}$時，取得等號．
由題意可得，2ab=2$\sqrt{2}$，
即ab=$\sqrt{2}$，②
又a²-b²=c²，③
由①②③解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．

點評 本題考查橢圓方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運用和范圍，同時考查基本不等式的運用，屬于中檔題．