Question

【題目】已知動圓過定點且與軸相切，點關(guān)于圓心的對稱點為，點的軌跡為.

（1）求曲線的方程；

（2）一條直線經(jīng)過點，且交曲線于、兩點，點為直線上的動點.

①求證：不可能是鈍角；

②是否存在這樣的點，使得是正三角形？若存在，求點的坐標(biāo)：否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見詳解；②存在，.

【解析】

（1）設(shè)出E點的坐標(biāo)，根據(jù)EF中點為M，MF的距離等于M點縱坐標(biāo)的絕對值，整理化簡即可求得；

（2）①將證明鈍角的問題，轉(zhuǎn)化為是否可以成立的問題，從而進行證明；

②假設(shè)存在這樣的點，則C點到AB中點的距離等于，據(jù)此求解.

（1）設(shè)，由在圓上，且點關(guān)于圓心的對稱點為.

故

所以，則

化簡得，

所以曲線的方程為

（2）①設(shè)直線：，，，，

所以，，，

，

+1

故不可能為鈍角

②假設(shè)存在這樣的點，設(shè)中點為

由①知

由，故

得

所以

又

由，得

所以存在點滿足題意.