Question

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x（百臺），總成本為C（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，每生產(chǎn)1百臺，成本增加1萬元，銷售收入R(x)=

4x- 1 2 x2- 1 2 ，0≤x≤4 7.5，x＞4.

（萬元），假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡．
（1）若要該廠不虧本，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
（2）該廠年產(chǎn)多少臺時，可使利潤最大？
（3）求該廠利潤最大時產(chǎn)品的售價．

Answer 1

分析：由題意寫出成本函數(shù)，則收入函數(shù)減去成本函數(shù)即可得到利潤函數(shù)．
（1）由利潤函數(shù)大于等于0，分段求解x的取值范圍，取并集得答案；
（2）分段求解利潤函數(shù)的最大值，取各段最大值中的最大者；
（3）（2）中求出了利潤最大時的x的值，把求得的x值代入

R(x)

x

得答案．

解答：解：由題意得，成本函數(shù)為C（x）=2+x，
從而利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x)=

3x-0.5x2-2.5，0≤x≤4 5.5-x，x＞4.

．
（1）要使不虧本，只要L（x）≥0，
當(dāng)0≤x≤4時，L（x）≥0⇒3x-0.5x²-2.5≥0⇒1≤x≤4，
當(dāng)x＞4時，L（x）≥0⇒5.5-x≥0⇒4＜x≤5.5．
綜上，1≤x≤5.5．
答：若要該廠不虧本，產(chǎn)量x應(yīng)控制在100臺到550臺之間．
（2）當(dāng)0≤x≤4時，L（x）=-0.5（x-3）²+2，
故當(dāng)x=2時，L（x）_max=2（萬元），
當(dāng)x＞4時，L（x）＜1.5＜2．
綜上，當(dāng)年產(chǎn)300臺時，可使利潤最大．
（3）由（2）知x=3，時，利潤最大，此時的售價為P=

R(3)

3

=2.33（萬元/百臺）=233元/臺．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了分段函數(shù)的最值得求法，分段函數(shù)的最值要分段求，該題屬中檔題．