Question

13．已知正實數x，y滿足$x+\frac{2}{x}+3y+\frac{4}{y}=10$，則xy的取值范圍為[1，$\frac{8}{3}$]．

Answer 1

分析 設xy=m可得x=$\frac{m}{y}$，代入已知可得關于易得一元二次方程（2+3m）y²-10my+m²+4m=0，由△≥0可得m的不等式，解不等式可得．

解答 解：設xy=m，則x=$\frac{m}{y}$，
∵$x+\frac{2}{x}+3y+\frac{4}{y}=10$，
∴$\frac{m}{y}$+$\frac{2y}{m}$+3y+$\frac{4}{y}$=10，
整理得（2+3m）y²-10my+m²+4m=0，
∵x，y是正實數，∴△≥0，
即100m²-4（2+3m）（m²+4m）≥0，
整理得m（3m-8）（m-1）≤0，
解得1≤m≤$\frac{8}{3}$，或m≤0（舍去）
∴xy的取值范圍是[1，$\frac{8}{3}$]
故答案為：[1，$\frac{8}{3}$]

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及換元的思想和一元二次方程根的存在性，屬中檔題．