Question

14．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，AD=1，若$\overrightarrow{DE}=t\overrightarrow{DC}$，AE⊥BD，則實數(shù)t的值為$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)AE⊥BD便有$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=0$，根據(jù)條件，可用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$分別表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$，然后進(jìn)行數(shù)量積的運算便可得到關(guān)于t的方程，解方程便可得出實數(shù)t的值．

解答 解：AE⊥BD；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=0$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DA}=t\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$=$t\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$；
∴$（t\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$（t-1）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-t{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$=-（t-1）-4t+1=0；
∴$t=\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量減法的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運算及其計算公式．