Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁(－1,0)，F₂(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且＝＋，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

解　(1)由橢圓定義知

2a＝|PF₁|＋|PF₂|＝＝2.

所以a＝.

又由已知得，c＝1，所以橢圓C的離心率e＝＝＝.

(2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y²＝1.

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)．

(i)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

(ii)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2.

因?yàn)?i>M，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x₁，kx₁＋2)，(x₂，kx₂＋2)，則

|AM|²＝(1＋k²)x，|AN|²＝(1＋k²)x.

又|AQ|²＝x²＋(y－2)²＝(1＋k²)x².

由得

即＝＋＝.①

將y＝kx＋2代入＋y²＝1中，得

(2k²＋1)x²＋8kx＋6＝0.②

由Δ＝(8k)²－4×(2k²＋1)×6＞0，得k²＞.

由②可知，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

代入①中并化簡(jiǎn)，得

x²＝.③

因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化簡(jiǎn)，得10(y－2)²－3x²＝18.

由③及k²＞，可知0＜x²＜，

即x∈

又滿足10(y－2)²－3x²＝18，

故x∈.

由題意知點(diǎn)Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以－1≤y≤1，

又由10(y－2)²＝18＋3x²有

(y－2)²∈，且－1≤y≤1，則y∈.

所以點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y－2)²－3x²＝18，其中x∈，y∈.