Question

15．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界，已知函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x
（1）a=2時(shí)．求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[0，1]的最小值g（a）；
（3）若函數(shù)f（x）在x∈（-∞，0]上是以1為上界的有界函數(shù)．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，令t=2^x（t＞0），則f（x）=g（t）=t²-2t，配方，即可得到所求值域；
（2）令t=2^x，由0≤x≤1，可得1≤t≤2，函數(shù)y=t²-at=（t-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$，對(duì)稱軸為t=$\frac{a}{2}$，討論對(duì)稱軸和區(qū)[1，2]的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求最小值；
（3）由題意知，|f（x）|≤1在（-∞，0]上恒成立，即2^x-2^-x≤a≤2^-x+2^x在（-∞，0]上恒成立．由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和恒成立思想，求得最值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=4^x-2•2^x，
令t=2^x（t＞0），
則f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1．
由t＞0可得t=1時(shí)，取得最小值-1，無最大值，
即f（x）的值域?yàn)閇-1，+∞）； 
（2）令t=2^x，由0≤x≤1，可得1≤t≤2，
函數(shù)y=t²-at=（t-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$，對(duì)稱軸為t=$\frac{a}{2}$，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤1即a≤2時(shí)，[1，2]為增區(qū)間，
即有最小值為g（a）=1-a；
當(dāng)1＜$\frac{a}{2}$＜2時(shí)，即2＜a＜4時(shí)，最小值為g（a）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2即a≥4時(shí)，[1，2]為減區(qū)間，
即有最小值為g（a）=4-2a．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a≤2}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}，2＜a＜4}\\{4-2a，a≥4}\end{array}\right.$；
（3）由題意知，|f（x）|≤1在（-∞，0]上恒成立．
∴-1≤f（x）≤1，即為-（2^x+2^-x）≤-a≤2^-x-2^x，
即2^x-2^-x≤a≤2^-x+2^x在（-∞，0]上恒成立．
由x≤0，可得2^x∈（0，1]，
即有2^-x+2^x∈[2，+∞），2^x-2^-x∈（-∞，0]，
即有0≤a≤2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．