Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（x²+a）的圖象在點P_n（n，f（n））（n∈N^*）處的切線l_n的斜率為k_n，直線l_n交x軸，y軸分別于點A_n（x_n，0），B_n（0，y_n），且y₁=-1．給出以下結論：
①a=-1；
②記函數(shù)g（n）=x_n（n∈N^*），則函數(shù)g（n）的單調性是先減后增，且最小值為1；
③當n∈N^*時，y_n+k_n+$\frac{1}{2}$＜ln（1+k_n）；
④當n∈N^*時，記數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}$}的前n項和為S_n，則S_n＜$\frac{\sqrt{2}（2n-1）}{n}$．
其中，正確的結論有①③④（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 首先利用函數(shù)的導數(shù)求出在某點處的斜率，進一步利用直線與x軸和y軸的交點求出y_n，x_n，關于n的函數(shù)關系式，由y₁=-1求得a值判斷①；
利用導數(shù)求出函數(shù)x_n的單調性并求其最小值判斷②；求出y_n+k_n+$\frac{1}{2}$關于n的函數(shù)式，分n=1和n≥2利用函數(shù)值的符號比較y_n+k_n+$\frac{1}{2}$與ln（1+k_n）的大小判斷③；
求出數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}$}的通項，放縮后利用裂項相消法求和證明S_n＜$\frac{\sqrt{2}（2n-1）}{n}$．

解答 解：①由f（x）=$\frac{1}{2}$（x²+a），得f′（x）=x，則f′（n）=n，
即k_n=n，
∴曲線在點P_n（n，f（n））處的切線l_n的切線方程為：ln：y-$\frac{1}{2}$（n2+a）=n（x-n），
直線l_n與y軸交于點B_n（0，y_n），
則：${y}_{n}=\frac{1}{2}（{n}^{2}+a）-{n}^{2}$且y₁=-1．
解得：a=-1，故①正確；
②直線l_n與x軸交于A_n（x_n，0），
∴$0-\frac{1}{2}（{n}^{2}+a）=n（{x}_{n}-n）$
整理得：g（n）=${x}_{n}=\frac{n}{2}+\frac{1}{2n}$，
則：${x}_{n}′=\frac{1}{2}-\frac{1}{2{n}^{2}}$
令${x}_{n}′=\frac{1}{2}-\frac{1}{2{n}^{2}}=0$
解得：n=1（負值舍去），
當n＞1時，x_n′＞0
∴函數(shù)g（n）為增函數(shù)，
當n=1時，函數(shù)取最小值，且最小值為1．
∴函數(shù)g（n）的單調性是增函數(shù)，且最小值為1，故②不正確；
③在l_n中，令x=0，得y_n=-n²+$\frac{1}{2}$（n²-1）=-$\frac{1}{2}$（n²+1），
∴y_n+k_n+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+n，
當n=1時，y₁+k₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$=ln$\sqrt{e}$＜ln2=ln（1+1）=ln（1+k₁），
當n≥2時，y_n+k_n+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+n≤0，而ln（1+k_n）=ln（1+n）＞ln1=0，故③正確；
④∵$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}•n}＜\frac{\sqrt{2}}{{n}^{2}}$，
∴S_n＜$\sqrt{2}（\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$．
當n＞1時，$\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴S_n＜$\sqrt{2}[1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\sqrt{2}（2-\frac{1}{n}）=\frac{\sqrt{2}（2n-1）}{n}$，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與運用，考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，考查了放縮法和裂項相消法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．