Question

圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若AM⊥MP，則P點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為（　�。�

• A、

  7

• B、

  7

  2

• C、3
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)．

解答：解：建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)A（0，-1，0），B（0，1，0），S(0，0，

3

)，M(0，0，

3

2

)，P（x，y，0）．
于是有

AM

=(0，1，

3

2

)，

MP

=(x，y，-

3

2

)．
由于AM⊥MP，所以(0，1，

3

2

)•(x，y，-

3

2

)=0，
即y=

3

4

，此為P點(diǎn)形成的軌跡方程，其在底面圓盤(pán)內(nèi)的長(zhǎng)度為2

1-( 3 4 )2

=

7

2

． 
  故選 B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過(guò)建立坐標(biāo)系，將求軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長(zhǎng)的求法．屬中檔題．