Question

13．已知點(diǎn)A、D分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的最大值是1，最小值是-$\frac{11}{5}$．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓位于x軸上方的一點(diǎn)，直線AS直線BS與直線l：x=$\frac{34}{15}$分別交于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的最大值是1，可得a²-c²=1，即b=1，利用$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的是最小值是-$\frac{11}{5}$解得b，即可求橢圓方程．
（2）設(shè)直線AS的斜率為k＞0，利用k_AS•k_BS=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，可得k_BS=-$\frac{1}{4k}$．直線AS，BS的方程分別為：y=k（x+2），y=-$\frac{1}{4k}$（x-2）．令x=$\frac{34}{15}$，可得M，N．求出|MN|再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的最大值是1，可得a²-c²=1，即b=1，
∴AD的方程為y=$\frac{x}{a}$+1
設(shè)P（x，y）（-a≤x≤0），則
$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$=（x+c，y）•（x-c，y）=x²-c²+y²=
（1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）（x+$\frac{a}{{a}^{2}+1}$）²-$\frac{{a}^{4}-{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$
∵$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的最小值是-$\frac{11}{5}$．
∴-$\frac{{a}^{4}-{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$=-$\frac{11}{5}$
∴a²=4，b=1，
所求的橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)直線AS的斜率為k＞0，
∵k_AS•k_BS=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴k_BS=-$\frac{1}{4k}$．
∴直線AS，BS的方程分別為：y=k（x+2），y=-$\frac{1}{4k}$（x-2）．
令x=$\frac{34}{15}$，則M（$\frac{34}{15}$，$\frac{64k}{15}$），N（$\frac{34}{15}$，-$\frac{1}{15k}$）．
∴|MN|=$\frac{64k}{15}+\frac{1}{15k}$≥$\frac{1}{15}×2\sqrt{64k•\frac{1}{k}}$=$\frac{16}{15}$，當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{1}{8}$時(shí)取等號(hào)．
∴線段MN長(zhǎng)度的最小值為$\frac{16}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．