Question

1．設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是兩個單位向量，其夾角為θ，則“$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{3}$”是“|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜1”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件和向量的應(yīng)用進行判斷即可．

解答 解：若$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{3}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cosθ=cosθ∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{2-2cosθ}$，
∵cosθ∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴2cosθ∈（1，$\sqrt{3}$），
則2-2cosθ∈（2-$\sqrt{3}$，1），則$\sqrt{2-2cosθ}$＜1，
即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜1成立，即充分性成立；
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{2-2cosθ}$，
∴由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜1得$\sqrt{2-2cosθ}$＜1得2-2cosθ＜1，
則cosθ＞$\frac{1}{2}$，則0≤θ＜$\frac{π}{3}$，k∈Z，即必要性不成立；
即“$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{3}$”是“|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜1”的充分不必要條件，
故選：A

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)向量的數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．